Ce qu'il faut faire pour devenir un As du billard comme ce Chinois de 3 ans

Tout comme j’ai rêvé d’être le roi du shaker comme Tom Cruise dans Cocktail, j’ai rêvé d’être le roi du billard comme Tom Cruise dans La Couleur de l’argent. J’ai parfois traîné mes guêtres dans la morne salle de jeux de la ville où j’ai grandi, un long couloir de bornes d’arcade menant vers une salle obscure et enfumée où deux tables de billard américain aux tapis verts délavés servaient de terrains de jeux aux champions du mercredi et aux dragueurs du dimanche.

Par manque de temps, de doigté et d’abnégation, j’ai vite abandonné ma carrière de joueur de billard amateur. Marre de me ridiculiser face aux potes plus expérimentés que moi, marre de ne pas tirer mon épingle du jeu devant des filles que j’aurais tant voulu épater. C’est peut-être ce genre de problématique qui a poussé certains mathématiciens à modéliser cette discipline si ardue et à mettre en équation le geste parfait.

Chaque partie de billard est différente de la précédente, c’est un fait. Mais cette belle incertitude est due avant tout à la façon dont on distribue les cartes.

Au billard, comme le certifie le lexique officiel, on dit qu’on casse: cela consiste à expédier la boule blanche (appelée bille de choc chez les spécialistes) dans la masse formée par les autres boules (ou billes de but). Une masse en forme de triangle équilatéral, et constituée de 15 billes (7 rouges, 7 jaunes et 1 noire au blackball, ou 15 billes numérotées au huit américain).

Casser trop mollement, ou en visant en biais, c’est l’assurance de passer pour un naze et de rendre la partie difficilement jouable. C’est pourquoi des mathématiciens ont tenté de modéliser le coup parfait, qui permette d’éloigner les billes autant que possible afin de rendre la suite nettement plus ouverte.

Postulat

Choisissant la vitesse qui lui paraissait idéale, le mathématicien Jim Belka cherché à reproduire grâce à un logiciel mathématique ce qui se produirait si la trajectoire de la bille de choc était parfaitement rectiligne, ce qui revient à tracer une hauteur du triangle de billes. Pour construire le modèle, il était important de supposer que toutes les billes sont élastiques (c’est-à-dire qu’elles reviennent à leur exacte forme de départ après avoir été déformées) et parfaitement rigides. Dans un but de simplification, et puisque toutes les billes sont censées être identiques, leur masse et leur rayon ont été réduites à une unité (ces données n’ayant pas d’influence sur le modèle), et la vitesse de la bille blanche a été fixée à 10 unités par seconde. Quant à la force s’exerçant entre 2 billes, elle est donnée par la formule suivante:

F = 0 si d est supérieur à 2, et F = 10¹¹ (2-d)^3/2 si d est inférieur à 2,

d représentant la distance entre deux billes (notez bien que 2 billes ne se télescopent que si d est inférieur à 2).

Cette formule, et notamment le choix de la puissance 3/2, sont liées à la théorie du contact de Hertz.

Lorsqu'on presse une sphère sur un matériau élastique, la surface de contact augmente, explique la fiche Wikipedia.

Collision

Dans ce cadre, la durée de la collision entre la bille de choc et la première bille de but est de 0,2 millisecondes. Une première animation montre les forces qui s’exercent entre les billes au cours des 0,20 premières millisecondes, l’aire de chaque disque jaune étant proportionnelle à la force qui s’exerce.

Après la collision, les balles suivent les trajectoires suivantes:

Le tableau ci-dessous indique, pour chaque bille, son angle de déplacement (0° correspondant à un beau «tout droit») et sa vitesse de déplacement. Les différences sont considérables:

Bille	de choc	1	2, 3	4, 6	5	7, 10	8, 9	11, 15	12, 14	13
Angle	0°	0°	40,1°	43,9°	0°	82,1°	161,8°	150°	178,2°	180°
vitesse	1,79	1,20	1,57	1,42	0,12	1,31	0,25	5,60	2,57	2,63

Rappelons que la vitesse initiale de la bille de choc était de 10 unités…

Cohérence des résultats obtenus: l’énergie cinétique (proportionnelle au carré de la vitesse d’après le théorème du même nom) est conservée, puisque le carré de 10 (la vitesse initiale de la bille blanche) est égal à la somme des carrés des vitesses des 15 billes.

Autres tentatives

Le choix de la puissance 3/2 est l’élément le plus discutable de cette modélisation, donc le plus modulable. Voilà ce qui se produit si la valeur de cette puissance est abaissée à 1:

Et si elle est au contraire élevée à 2, dans le cadre de la loi de Hookesur les déformations de faible amplitude:

La modélisation n’est pas unique, et produit des résultats sensiblement différents, ce qui ne manque pas d’alimenter le débat.

Un tout autre modèle…

Autre possibilité soulevée: l’idée que la distance entre les billes aurait une influence bien plus forte que celle induite par le modèle présenté précédemment. Voilà une autre formule proposée concernant la force s’exerçant entre deux billes, qui voit l’exposant 3/2 disparaître au profit d’une puissance 10 prenant cette idée en compte:

F = 0 si d est supérieur à 2, et F = 10⁵⁴ (2-d)¹⁰ si d est inférieur à 2.

Le résultat est le suivant:

L’idée, séduisante, selon laquelle la force serait distribuée très rapidement dès le début de la collision, accouche d’un corollaire moins évident: la force se propagerait uniquement dans deux directions, laissant certaines billes totalement intactes.

La simplicité de ce modèle, avantage certain, est hélas contrebalancée par son manque de réalisme: qui a un jour réussi à casser efficacement et sans dévier a pu remarquer que toutes les billes étaient alors impactées par ce beau geste initial.

Sur les forums et les sites de recherche, chacun s’accorde à dire que le premier modèle, caractérisé par la puissance 3/2 liée à la théorie de Hertz, semble le plus convaincant. Reste à tenter de reproduire la simulation dans la vie réelle, pour obtenir un résultat aussi proche que possible de la perfection…

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[Billard Américain]

Par manque de temps, de doigté et d’abnégation, j’ai vite abandonné ma carrière de joueur de billard amateur. Marre de me ridiculiser face aux potes plus expérimentés que moi